Question

15．已知△ABC，BC边上两点D，E，满足∠BAD=∠CAE．求证：$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{BD•BE}{CD•CE}$．

Answer 1

分析 过C作CF∥AB分别交AD、AE的延长线于发F、G，于是得到△ABD∽△FCD，△ABE∽△CEG，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{CF}=\frac{BD}{CD}$，$\frac{AB}{CG}=\frac{BE}{CE}$，两式相乘得：$\frac{A{B}^{2}}{CF•CG}$=$\frac{BD•BE}{CD•CE}$，由于△ACG∽△FCA，由相似三角形的性质得到$\frac{AC}{CG}=\frac{CF}{AC}$，于是得到AC²=CF•CG，即可得到结论．

解答 解：过C作CF∥AB分别交AD、AE的延长线于发F、G，
∴△ABD∽△FCD，△ABE∽△CEG，
∴$\frac{AB}{CF}=\frac{BD}{CD}$，$\frac{AB}{CG}=\frac{BE}{CE}$，
两式相乘得：$\frac{A{B}^{2}}{CF•CG}$=$\frac{BD•BE}{CD•CE}$，
∵CF∥AB，
∴∠BAD=∠F，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠F=∠CAE，
∵∠ACG=∠ACG，
∴△ACG∽△FCA，
∴$\frac{AC}{CG}=\frac{CF}{AC}$，
∴AC²=CF•CG，
∴$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{BD•BE}{CD•CE}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，整式的化简，正确的作出辅助线是解题的关键．