Question

10．如图1，直线y=-$\frac{4}{3}$x+8分别交x轴、y轴于点B、C，直线l：y=kx-3k+4交x轴于点A，且过直线BC上一定点P．
（1）求定点P的坐标；
（2）如图2，CE、BE分别平分∠OCB和∠OBC，y轴上有一点D（0，-2），连PE、AC、AD，当∠ACE=45°时，求证：AD=2PE；
（3）如图3，当k=$\frac{3}{4}$时，将直线l沿y轴正半轴向上平移n个单位后分别交BC于F，交x轴于G，连EG，若EG平分∠FGO，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根据直线过定点时直线与k的值无关，可得答案；
（2）根据直角三角形的判定，可得BQ⊥AC，根据等腰三角形的性质，可得AB与BC的关系，根据勾股定理，可得AD的长，根据三角形的面积，可得E点坐标，根据勾股定理，可得PE的长；
（3）根据直线平移的规律，可得直线FG的解析式，根据内心的定义，可得E到GF的距离，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）y=kx-3k+4过定点，即y=（x-3）k+4过定点，即P（3，4）；
（2）证明：如图：

延长BE交AC于Q点，
∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+8分别交x轴、y轴于点B、C，
∴B（6，0），C（0，8），BC=10．
∵CE、BE分别平分∠OCB和∠OBC，
∴∠BEC=90°+$\frac{1}{2}$∠BOC=135°，
∴∠CEQ=45°．
∵∠ACE=45°，
∴BQ⊥AC，
∵BE平分∠ABC，
∴BA=BC=10，
∴OA=4．
∵OD=2，
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵E是△BOC的内心，设E（a，a），
$\frac{1}{2}$（6+8+10）a=$\frac{1}{2}$×6×8，
∴a=2，即E（2，2），
∴PE=$\sqrt{（3-2）^{2}+（4-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AD=2PE；
（3）当k=$\frac{3}{4}$时，y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$，
直线l沿y轴正半轴向上平移n个单位，得
y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$+n．
即$\frac{3}{4}$x-y+$\frac{7}{4}$+n=0，
EG平分∠FGO，BE平分∠FBG，
E是△BFG的内心，
E到FG的距离是2，
$\frac{|\frac{6}{4}-2+\frac{7}{4}+n|}{\sqrt{（\frac{3}{4}）^{2}+1}}$=2，
n+$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{2}$或n+$\frac{5}{4}$=-$\frac{5}{2}$，
解得n=$\frac{5}{4}$，n=-$\frac{15}{4}$（不符合题意，舍）．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用直线过定点与k值无关是解题关键；（2）利用等腰三角形的性质得出AB的长是解题关键，又利用了勾股定理，三角形的内心得出E点坐标；（3）利用三角形的内心得出关于n的方程是解题关键．