Question

2．已知，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PQ∥BC，AD⊥BC，与PQ交于E
（1）当S_△PQA=S_PBCQ时，求AE的长；
（2）当△PAQ的周长与四边形PBCQ的周长相等时，求AP的长度．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到BD=$\frac{1}{2}$BC=3，由勾股定理求得AD=4，由已知条件得到S_△PQA=$\frac{1}{2}$S_△ABC，通过△PQA∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件推出AP+AQ=PB+6+CQ，由三角形相似得到△APQ是等腰三角形，于是得到AP=AQ=5-PB，设AP=AQ=x，列方程即可求得结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵AB=5，
∴AD=4，
∵S_△PQA=S_PBCQ，
∴S_△PQA=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{{S}_{△PQA}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△PQA}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AD}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴AE=2$\sqrt{2}$；

（2）∵△PAQ的周长与四边形PBCQ的周长相等，
∴AP+AQ+PO=PB+BC+CQ+PQ，
∴AP+AQ=PB+6+CQ，
∵△APQ∽△ABC，
∴△APQ是等腰三角形，
∴AP=AQ=5-PB，
设AP=AQ=x，
∴PB=QC=5-x，
∴2x=10-2x+6，
∴x=4，
∴AP=4．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．