Question

3．平面内有n个点（n＞2且任意3点都不在同一直线上），若从中任意取3个点，以其中一点为端点．且经过另外两点画射线都能构成一个角．
（1）若n=3，则能构成角的个数S₃=3；
（2）名n=4，则能构成角的个数s₄=12；
（3）若n=5，则能构成角的个数S₅=30；
（4）试写出n个点能构成角的个数S_n=$\frac{1}{2}$n（n-1）（n-2）．

Answer 1

分析 过不在同一直线上的三点可以确定1个三角形，也就是则能构成角的个数为3；过不在同一直线上的4点可以确定4个三角形，也就是则能构成角的个数为12；过不在同一直线上的5点可以确定10个三角形，也就是则能构成角的个数为30；…由此得出平面内有n个点，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法．取第三个点C有（n-2）种取法，顺次连接不在同一直线上的三个点可作1个三角形；但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形，故应除以6，所以得出三角形的个数为$\frac{1}{6}$n（n-1）（n-2），角的个数为$\frac{1}{2}$n（n-1）（n-2），由此得出答案即可．

解答 解：（1）若n=3，则能构成角的个数S₃=3；
（2）若n=4，则能构成角的个数s₄=12；
（3）若n=5，则能构成角的个数S₅=30；
（4）n个点能构成角的个数S_n=$\frac{1}{2}$n（n-1）（n-2）．
故答案为：3，12，30，$\frac{1}{2}$n（n-1）（n-2）．

点评 此题考查图形的变化规律，从简单情形入手，把问题转化为求三角形的个数找出运算规律，进一步利用规律解决问题．