Question

20．已知△ABC中，O是三角形内一点，满足∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO，求证：BC²=AC•AB．

Answer 1

分析 根据已知条件∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=$\frac{1}{2}∠$BAC，得到OA=OC，设∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，由正弦定理得$\frac{OA}{sin（β-\frac{1}{2}α）}$=$\frac{BO}{sin\frac{1}{2}α}$，$\frac{CO}{sin\frac{1}{2}α}$=$\frac{BO}{sin（γ-\frac{1}{2}α）}$，两式相比得到sin²$\frac{1}{2}α$=sin（$β-\frac{1}{2}α$）•sin（γ-$\frac{1}{2}α$），化简后即可得到结论．

解答 解：∵∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=$\frac{1}{2}∠$BAC，
∴OA=OC，
设∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，
在△ABO和△BCO中，由正弦定理得$\frac{OA}{sin（β-\frac{1}{2}α）}$=$\frac{BO}{sin\frac{1}{2}α}$，$\frac{CO}{sin\frac{1}{2}α}$=$\frac{BO}{sin（γ-\frac{1}{2}α）}$，
∵AO=CO，
∴两式相比得：sin²$\frac{1}{2}α$=sin（$β-\frac{1}{2}α$）•sin（γ-$\frac{1}{2}α$），
∴1-cosα=cos（β-γ）-cos（β+γ-α），1+cos（β+γ-α）=cos（β-γ）+cosα．
∵β+γ-α=180°-2α，
∴2sin²α=2sinβsinγ，
∴BC²=AC•AB．

点评 本题考查了三角形的内角和，正弦定理，三角函数，正确掌握正弦定理是解题的关键．