Question

8．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AD：BD=1：3，求△ACD与△ABC的周长之比．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，于是得到∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°，求得∠A=∠BCD，推出△ACD∽△BCD，根据相似三角形的性质得到$\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，由已知条件设AD=k，BD=3k，得到CD=$\sqrt{3}$k，根据勾股定理求得AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2k，AB=4k，通过△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△BCD，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，
∵AD：BD=1：3，
∴设AD=k，BD=3k，
∴CD=$\sqrt{3}$k，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2k，AB=4k，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴△ACD与△ABC的周长之比=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意线段的比例和乘积的互化．