Question

【题目】我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．

（1）等边三角形“內似线”的条数为；
（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）证明：∵AB=AC，BD=BC=AD，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，

∴△BCD∽△ABC，

又∵∠BDC=∠A+∠ABD，

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD平分∠ABC，

即BD过△ABC的内心，

∴BD是△ABC的“內似线”；

（3）解：设D是△ABC的内心，连接CD，

则CD平分∠ACB，

∵EF是△ABC的“內似线”，

∴△CEF与△ABC相似；

分两种情况：①当 = = 时，EF∥AB，

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB= =5，

作DN⊥BC于N，如图2所示：

则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，

∴DN= （AC+BC﹣AB）=1，

∵CD平分∠ACB，

∴ = ，

∵DN∥AC，

∴ = ，即 ，

∴CE= ，

∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

∴ ，即 ，

解得：EF= ；

②当 = = 时，同理得：EF= ；

综上所述，EF的长为 ．

【解析】（1）解：等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：

过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：

则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，

∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”；

所以答案是：3.

【考点精析】本题主要考查了相似三角形的应用的相关知识点，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能正确解答此题．