Question

设关于x的方程x²+（

a

x

）²-7x-

7a

x

+2a+12=0有两个相等的根，求a的值．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：计算题

分析：先利用完全平方公式把原方程变形为（x+

a

x

）²-7（x+

a

x

）+12=0，则得到关于x+

a

x

的一元二次方程，利用因式分解法得到x+

a

x

=3或x+

a

x

=4，再化为整式方程x²-3x+a=0或x²-4x+a=0，然后根据判别式的意义求a的值．

解答：解：原方程变形为（x+

a

x

）²-7（x+

a

x

）+12=0，
（x+

a

x

-3）（x+

a

x

-4）=0，
x+

a

x

=3或x+

a

x

=4
则x²-3x+a=0或x²-4x+a=0，
对于x²-3x+a=0，△=9-4a=0，即a=

9

4

时，此方程有两个相等的实数根；
对于x²-4x+a=0，△=16-4a=0，即a=4时，此方程有两个相等的实数根，
所以a的值为

9

4

或4．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．