Question

如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为________．

Answer 1

3
分析：连OD，可用切割线定理，先求出EB，AB、OD，再利用相似三角形，解得EC=5，利用切线的性质求得CD即可．
解答：连接OD，
由AB是半圆O的直径，
得BC=DC，DE²=EA•EB，
∵EA=1，ED=2，
∴EB=4，
∴AB=EB-EA=3，
∴OD=OA=，
由CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，知
∠CBE=90°，∠ODE=90°，
∴△CBE∽△ODE，
∴=即=，
解得EC=5，
又∵CD和CB是⊙O的两条切线，
∴CD=BC，则CD=EC-ED=5-2=3．
故答案为：3．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是连接OD，连接圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用