Question

关于x的方程x²+3mx+2m²=0（其中m≠0）．
（1）请你说明无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）请你取一个m的值代入代数式x²+3mx+2m²中，并求出这是当x取何值时，代数式的值最小？并求出这时代数式的最小值．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：（1）先计算方程根的判别式△的值，得到△=（3m）²-4×2m²=m²，由于m≠0，则有△＞0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）把这个代数式写成完全平方的形式，再根据非负数的性质求解即可．

解答：证明：（1）△=（3m）²-4×2m²
=m²，
∵m≠0，
∴m²＞0，
∴△＞0，
∴无论m取何值，此方程都有两个不相等的实数根；

（2）∵x²+3mx+2m²=（x+

3

2

m）²-

1

4

m²，
∴当x=-

3

2

m时，代数式的值最小，这时代数式的最小值是-

1

4

m²．
当m=0时，x=0，即当x=0时，代数式的值最小，这时代数式的最小值0．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac的关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
同时考查了配方法的应用．