Question

【题目】如图，已知为的直径，、为的切线，、为切点，连接、，交于点，交于，的延长线交于点，给出下列结论：①；②点为的内心；③；④，其中正确的是（ ）

A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根据切线长定理，证△COB≌△COD，可得∠DCO=∠BCO．故OC⊥BD．根据圆周角定理即可得出AD⊥BD，由此可证得AD∥OC；
②连接DE、BE；上面已证得=，根据弦切角定理以及圆周角定理相等，易求得DE、BE分别平分∠CDB和∠CBD；根据三角形内心的定义，即可得出结论②正确；
③根据圆周角定理得到，GF⊥BE．又由②知，BE是∠CBD的平分线，根据等腰三角形的“三合一”性质得到EG=EF．故③正确；
④若FE=FC，则∠OCB=∠CEF=∠OEA=∠OAE，在Rt△OBC中，BD⊥OC，易得∠DBA=∠OCB（因为OC⊥BD），即∠DBA=∠EAB；因此=，而这个条件并不一定成立．故④不正确．

①连接OD,DE,EB,CD，与BC是O的切线,易证△CDO≌△CBO，则∠DCO=∠BCO.故OC⊥BD.∵AB是直径，∴AD⊥BD，∴AD∥OC，故①正确；②∵CD是O的切线，∴∠CDE=12∠DOE,而∠BDE=12∠BOE，∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，因此E为△CBD的内心，故②正确；③如图，∵AB是直径，∴∠AEB=90，即GF⊥BE.又由②知，BE是∠CBD的平分线，∴BE是等腰△GBF的边GF上的中垂线，则EG=EF.故③正确；④若FC=FE，则应有∠OCB=∠CEF，应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，∴=,而和不一定相等，故④不正确.故选C.