Question

【题目】（阅读）

如图1，四边形OABC中，OA＝a，OC＝8，BC＝6,∠AOC＝∠BCO＝90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．

（理解）

若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，8]；

（尝试）

（1）若点D与OA的中点重合，则这个操作过程为FZ[____，____]；

（2）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；

（应用）

经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，直线l与AB相交于点F，试画出图形并解决下列问题：

①求出a的值；

②若P为边OA上一动点，连接PE、PF，请直接写出PE＋PF的最小值．

（备注：等腰直角三角形的三边关系满足或)

Answer 1

【答案】（1）FZ[45°，16]；（2）θ＝30°；【应用】①a的值为14；② .

【解析】

（1）利用轴对称的性质，即可解决问题；

（2）延长MD、OA，交于点N，如图2．易证△BDM≌△AND，则有DM＝DN，根据垂直平分线的性质，可得OM＝ON，根据等腰三角形的性质，可得∠MOD＝∠NOD，从而可求出θ.

（3）①过点B作BH⊥OA于点H，如图3，易得∠FOA＝45°，∠OFA＝90°，∠OAB＝45°，

从而得∠HBA＝∠HAB，则有BH＝AH，易证四边形BCOH是平行四边形，则有BH＝CO＝8，OH＝CB＝6，即可求出OA的长，进而求出a的值；②过点F作OA的对称点Q，连接AQ，EQ，如图3，则有∠QAO=∠FAO=45°，QA=FA，从而可得∠QAF=90°，然后根据等腰直角三角形三边的比例，求得：AB，AF,进而，求得BF，EF,AE，在RtQAE中，根据勾股定理，可求出EQ的长，最后根据两点之间线段最短，可知：当E，P，Q三点共线时，PE+PF=PE+PQ最小，最小值为线段EQ长，即可.

（1）∵点D与OA的中点重合，

∴θ=，a=OA=2OC=2×8=16，

∴这个操作过程为FZ[45°，16]；

（2）延长MD、OA，交于点N，如图2．

∵∠AOC＝∠BCO＝90°，

∴∠AOC+∠BCO＝180°，

∴BC∥OA，

∴∠B＝∠DAN．

在△BDM和△ADN中，

，

∴△BDM≌△ADN（ASA），

∴DM＝DN．

∵∠ODM＝∠OCM＝90°，

∴根据线段垂直平分线的性质可得OM＝ON，

∴根据等腰三角形的性质可得∠MOD＝∠NOD．

由折叠可得∠MOD＝∠MOC＝θ，

∴∠COA＝3θ＝90°，

∴θ＝30°

（3）①过点B作BH⊥OA于点H，如图3．

∵∠COA＝90°，∠COF＝45°，

∴∠FOA＝45°．

∵点B与点E关于直线l对称，

∴∠OFA＝∠OFB＝90°，

∴∠OAB＝45°，

∴∠HBA＝90°﹣45°＝45°＝∠HAB，

∴BH＝AH．

∵CO⊥OA，BH⊥OA，∴CO∥BH．

∵BC∥OA，∴四边形BCOH是平行四边形，

∴BH＝CO＝8，OH＝CB＝6，

∴OA＝OH+AH＝OH+BH＝6+8＝14．

∴a的值为14.

②过点F作OA的对称点Q，连接AQ，EQ，如图3，

则有∠QAO=∠FAO=45°，QA=FA，

∴∠QAF=90°，

在等腰RtBHA中，，

在等腰RtOFA中，，

∴BF=AB-AF=，

由折叠的性质，可得：EF=BF=，

∴AE=AF-EF=.

在RtQAE中，.

根据两点之间线段最短，可知：当E，P，Q三点共线时，PE+PF=PE+PQ最小，最小值为线段EQ长，

∴PE+PF的最小值为.