Question

12．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2$\sqrt{3}$），直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$与x轴，y轴分别交于A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 当PM⊥直线AB时，此时PM有最小值，利用直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$求出点A与B的坐标，从而可知OA，OB的长度，然后证明△AOB∽△BMP，利用相似三角形的性质即可求出PM的值．

解答 解：当PM⊥直线AB时，此时PM有最小值，
令x=0代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
∴y=-$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{3}$，
令y=0代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$求，
∴x=3，
∴OA=3，
∴在Rt△AOB中，
由勾股定理可知：AB=2$\sqrt{3}$，
∵P（0，2$\sqrt{3}$），
∴BP=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$
∵∠OBA=∠MBP，∠AOB=∠PMB=90°，
∴△AOB∽△BMP
∴$\frac{PM}{BP}$=$\frac{OA}{AB}$，
∴PM=$\frac{9}{2}$
故答案为：$\frac{9}{2}$

点评 本题考查垂线段最短，解题的关键是求出OA、OB、AB的长度，从而可求出答案．