Question

如图，直角梯形ABCD，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60°．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边△ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
（1）求证：EB=EF；
（2）猜想四边形ABEF是哪一种特殊四边形并证明；
（3）若EF=6，求直角梯形ABCD的面积．

Answer 1

考点：直角梯形,全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）由三角形ADF为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AF=AD，∠FAD=60°，再由∠FAD+∠EAD求出∠EAF的度数，由∠DAB-∠EAD求出∠BAE的度数，得到∠FAE=∠BAE，再由AB=AD，等量代换得到AF=AB，再由AE为公共边，利用SAS可得出△AEF与△AEB全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=EB，得证；
（2）由FD=FA，DE=AE，以及公共边FE，利用SSS可得出△DEF与△AEF全等，进而得出FA=EF，则FA=EF=AB=BE，即可得出答案；
（3）由全等三角形的性质及等边三角形的性质得到∠DFE=∠AFE=30°，求出∠DEF为75°，在由∠FAE+∠EAD求出∠FAE为75°，可得出∠FAE=∠FEA，利用等角对等边得到FE=AF，可得出等边三角形AFD三边长为6，过C作CM垂直于AB，可得出CM=6，由∠ABC为60°，在直角三角形BCM中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出BM的长，由AB-BM求出AM的长，即为DC的长，利用梯形的面积公式即可求出梯形ABCD的面积．

解答：（1）证明：∵△ADF为等边三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°，
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，
∴∠FAE=∠FAD+∠EAD=75°，∠BAE=∠DAB-∠EAD=75°，
∴∠FAE=∠BAE，
又∵AD=AB，
∴AB=AF，
在△FAE和△BAE中，

FA=BA ∠FAE=∠BAE=75° AE=AE

，
∴△FAE≌△BAE（SAS），
∴EF=EB；

（2）解：四边形ABEF是菱形，
理由：∵∠EAD=∠EDA=15°，
∴∠AED=150°，
在△FAE和△FDE中，

DF=FA EF=EF DE=AE

，
∴△FAE≌△FDE（SSS），
∴∠FEA=75°，
∴∠FAE=∠FEA，
∴FA=EF，
则FA=EF=AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；

（3）解：∵△FAE≌△FDE，
∴∠DFE=∠AFE=

1

2

×60°=30°，∠DEF=∠AEF=

1

2

×150°=75°，
又∵∠FAE=60°+15°=75°，
∴∠AEF=∠FAE，
又∵EF=6，
∴AF=EF=6，AB=AD=AF=6，
过C作CM⊥AB于M，可得CM=AD=6，
∵tan∠ABC=

CM

BM

，∠ABC=60°，
∴BM=

CM

tan60°

=

6

3

=2

3

，
∴CD=AM=AB-BM=6-2

3

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×[（6-2

3

）+6]×6=36-6

3

．

点评：此题考查了直角梯形、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、锐角三角函数定义以及梯形的面积公式等知识，得出△FAE≌△BAE是解题关键．