Question

如图（1），有两个全等的正三角形ABC和ODE，点O、C分别为△ABC、△DEO的重心；固定点O，将△ODE顺时针旋转，使得OD经过点C，如图（2），则图（2）中四边形OGCF与△OCH面积的比为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,三角形的重心,等边三角形的性质

专题：压轴题

分析：设正三角形的边长是x，则图1中四边形OGCF是一个内角是60°的菱形，图2中△OCH是一个角是30°的直角三角形，分别求得两个图形的面积，即可求解．

解答：解：设正三角形的边长是x，则高长是

3

2

x．
图1中，四边形OGCF是一个内角是60°的菱形，OC=

2

3

×

3

2

x=

3

3

x．
另一条对角线长是：FG=2GH=2×

1

2

OC•tan30°=2×

1

2

×

3

3

x•tan30°=

1

3

x．
则四边形OGCF的面积是：

1

2

×

1

3

x•

3

3

x=

3

18

x²；
图2中，OC=

2

3

×

3

2

x=

3

3

x．
△OCH是一个角是30°的直角三角形．
则△OCH的面积=

1

2

OC•sin30°•OC•cos30°=

1

2

×

3

3

x•×

1

2

×

3

3

x•

3

2

=

3

24

x²．
四边形OGCF与△OCH面积的比为：

3

18

x²：

3

24

x²=4：3．
故答案为：4：3．

点评：本题主要考查了三角形的重心的性质，解直角三角形，以及菱形、直角三角形面积的计算，正确计算两个图形的面积是解决本题的关键．