Question

已知：如图，BD、CE都是△ABC的高．F是BD上一点，G是CE延长线上一点，∠FAB=∠G．
（1）若∠FAD=∠FBC，试说明AG∥BC；
（2）若BF=AC，试探索线段AF和AG的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据已知条件求证出关于直线AG，BC的内错角∠G=∠ECB，则满足AG∥BC的条件；
（2）根据平行线的性质和已知条件求证出△BAF≌△CGA，则得到AF=AG，然后通过等量代换求出∠GAF=90°所以AG⊥AF．

解答：解：（1）设BD、CE交于O，
∵BD、CE是高，
∴∠BEO=∠CDO=90°，
∴∠BOE+∠EBO=∠COD+∠OCD=90°，
∵∠BOE=∠COD，
∴∠EBO=∠OCD，
∵∠EBO+∠FBC+∠ECB=90°，
∠FAD+∠BAF+∠OCD=90°，
∵∠FAD=∠FBC，
∴∠ECB=∠BAF，
∵∠BAF=∠G，
∴∠G=∠ECB，
∴AG∥BC；

（2）AF⊥AG，AF=AG．
∵在△BAF和△CGA中，

∠ABF=∠GCA ∠BAF=∠G BF=AC

，
∴△BAF≌△CGA（AAS），
∴AF=AG，
在Rt△AGE中，
∵∠AEG=90°，
∴∠G+∠GAE=90°，
∵∠G=∠BAF，
∴∠GAE+∠BAF=90°，
即∠GAF=90°，
∴AG⊥AF．

点评：本题综合考查了平行线的性质，平行线的判定条件，全等三角形的判定条件，以及垂直定理；做题时要熟练应用这些知识．