Question

20．已知⊙O的半径等于13cm，弦AB=24cm，弦CD∥AB，依据题意画图解答．
（1）若AB与CD间的距离为12cm，求弦CD的长；
（2）若AB与CD间的距离为7cm，求弦CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，如图1，利用勾股定理和垂径定理可得OE，由AB与CD间的距离为12cm，可得OF，由勾股定理得CF，得出CD；
（2）根据题意画出图形，如图2，利用勾股定理和垂径定理可得OE，由AB与CD间的距离为7cm，可得OF，利用分类讨论的思想分为AB与CD在异侧或同侧两种情况讨论即可．

解答 解：（1）如图1，过点O作OE⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OF⊥CD，AE=$\frac{1}{2}AB$=12cm，CF=$\frac{1}{2}CD$，
在Rt△AOE中，OE=$\sqrt{{AO}^{2}{-AE}^{2}}$=$\sqrt{{13}^{2}{-12}^{2}}$=5cm，
∵EF=12cm，
∴OF=7cm，
∴CF=$\sqrt{{CO}^{2}{-OF}^{2}}$=$\sqrt{{13}^{2}{-7}^{2}}$=2$\sqrt{30}$cm，
∴CD=4$\sqrt{30}$cm；

（2）如图2，过点O作OE⊥AB，OE′⊥AB，
情况1，AB与CD在异侧，∵CD∥AB，
∴OF⊥CD，AE=$\frac{1}{2}AB$=12cm，CF=$\frac{1}{2}CD$，
在Rt△AOE中，OE=$\sqrt{{AO}^{2}{-AE}^{2}}$=$\sqrt{{13}^{2}{-12}^{2}}$=5cm，
∵EF=7cm，
∴OF=2cm，
∴CF=$\sqrt{{CO}^{2}{-OF}^{2}}$=$\sqrt{{13}^{2}{-2}^{2}}$=$\sqrt{165}$cm，
∴CD=2$\sqrt{165}$cm；
情况2，AB与CD在同侧，∵C′D′∥AB，
OE=5cm，EE′=7cm，
∴OE′=12cm，
∴C′E′=$\sqrt{{C′O}^{2}{-OE′}^{2}}$=$\sqrt{{13}^{2}-1{2}^{2}}$=5cm，
∴C′D′=10cm，
即CD=10cm．

点评 本题主要考查了垂径定理和勾股定理，数形结合，利用分类讨论的思想是解答此题的关键．