Question

10．求出能被11整除，且所得的商等于它的各个数码的平方和的所有三位数．

Answer 1

分析 先设出满足条件的三位数，由于此三位数是11的倍数，故a-b+c=0或a-b+c=11，①当a-b+c=0时，根据题意列出方程组即可求出a、b、c的值；②当a-b+c=11时，根据题意列出关于a、b、c的方程，再根据c为奇数求出符合条件的a、b、c的值即可．

解答 解：设满足条件的三位数为$\overline{abc}$，
①若$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0（1）}\\{100a+10b+c=11（{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}）（2）}\end{array}\right.$，
消去b得a²+a（c-5）+（c²-$\frac{c}{3}$）=0（3），
于是c为偶数，把c=0，2，4，6，8代入（3）试验，仅当c=0时，a为正整数，故当a-b+c=0时，a=5，b=5，c=0．
②若a-b+c=11（4），
100a+10b+c=11（a²+b²+c²）（5），
由（4）（5）消去b得，2a²+2c²+2ac-32a-23c+131=0（6），
易知c为奇数，把c=1，5，7，9代入（6）进行试验，仅当c=3时，a为正整数，故当a-b+c=11时，$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故符合条件的三位数是550，803．
故答案为：550，803．

点评 本题考查的是数的整除性问题，根据题意列出关于a、b、c的方程组是解答此题的关键．注意分类思想的运用．