Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=8-2t，PD=$\frac{4}{3}$t．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

Answer 1

分析 （1）根据BC=8，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动可直接得出QB的长，再根据∠C=90°，PD∥BC可知PD⊥AC，故$\frac{BC}{AC}$=$\frac{PD}{AP}$，由此可用t表示出PD的长；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，再由PD∥BC得出APD∽ACB，可用t表示出AD及BD的长，再由BQ∥DP可知当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8-2t=$\frac{4}{3}$t，解得t=$\frac{12}{5}$．故可得出DP≠BD，即四边形PDBQ不能为菱形；设点Q的速度为每秒v个单位长度．则BQ=8-vt，PD=$\frac{4}{3}$t，BD=10-$\frac{5}{3}$t．要使四边形PDBQ是菱形，则PD=BD=PQ．再分PD=BD，PD=BQ两种情况即可得出结论．

解答 解：（1）∵BC=8，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，
∴QB=8-2t，AP=2t；
∵∠C=90°，PD∥BC，
∴PD⊥AC，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{PD}{AP}$，即$\frac{8}{6}$=$\frac{PD}{2t}$，即PD=$\frac{4}{3}$t．
故答案为：8-2t，$\frac{4}{3}$t；

（2）不存在．
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8．
∴AB=10．
∵PD∥BC，
∴APD∽ACB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$，即$\frac{AD}{10}$=$\frac{t}{6}$，
∴AD=$\frac{5}{3}$t．
∴BD=AB-AD=10-$\frac{5}{3}$t．
∵BQ∥DP，
∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8-2t=$\frac{4}{3}$t，解得t=$\frac{12}{5}$．
当t=$\frac{12}{5}$时，DP=$\frac{4}{3}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{16}{5}$，BD=10-$\frac{5}{3}$×$\frac{12}{5}$=6．
∴DP≠BD．
∴四边形PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度．
则BQ=8-vt，PD=$\frac{4}{3}$t，BD=10-$\frac{5}{3}$t．
要使四边形PDBQ是菱形，则PD=BD=PQ．
当PD=BD，即$\frac{4}{3}$t=10-$\frac{5}{3}$t．解得t=$\frac{10}{3}$．
当PD=BQ，t=$\frac{10}{3}$时，即$\frac{4}{3}$×$\frac{10}{3}$=8-$\frac{10}{3}$v，解得v=$\frac{16}{15}$．
∴当点Q的速度为每秒$\frac{16}{15}$个单位时，经过$\frac{10}{3}$秒，四边形PDBQ是菱形．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，在解答（3）时要分PD=BD，PD=BQ两种情况进行讨论，此题难度较大．