【题目】如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过点A(-1,0) ,C(0,5)两点与x轴另一交点为B,已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)当a=1时,求四边形MEFP面积的最大值,并求此时点P的坐标.
(3)若△PCM是以点P为顶角顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小?请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+4x+5.(2) ,点P坐标为(
,
).(3)
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)首先求出四边形MEFP面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标;
(3)四边形PMEF的四条边中,PM、EF长度固定,因此只要ME+PF最小,则PMEF的周长将取得最小值.如答图3所示,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),得M1(1,1);作点M1关于x轴的对称点M2,则M2(1,-1);连接PM2,与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小.
试题解析:(1)∵对称轴为直线x=2,
∴设抛物线解析式为y=a(x-2)2+k.
将A(-1,0),C(0,5)代入得:
,解得
,
∴y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.
(2)当a=1时,E(1,0),F(2,0),OE=1,OF=2.
设P(x,-x2+4x+5),
如答图2,过点P作PN⊥y轴于点N,则PN=x,ON=-x2+4x+5,
∴MN=ON-OM=-x2+4x+4.
S四边形MEFP=S梯形OFPN-S△PMN-S△OME
=(PN+OF)
ON-
PN
MN-
OM
OE
=(x+2)(-x2+4x+5)-
x
(-x2+4x+4)-
×1×1
=-x2+x+
=-(x-)2+
∴当x=时,四边形MEFP的面积有最大值为
,
把x=时,y=-(
-2)2+9=
.
此时点P坐标为(,
).
(3)∵M(0,1),C(0,5),△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,
∴点P的纵坐标为3.
令y=-x2+4x+5=3,解得x=2±.
∵点P在第一象限,
∴P(2+,3).
四边形PMEF的四条边中,PM、EF长度固定,因此只要ME+PF最小,则PMEF的周长将取得最小值.
如答图3,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),得M1(1,1);
作点M1关于x轴的对称点M2,则M2(1,-1);
连接PM2,与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小.
设直线PM2的解析式为y=mx+n,将P(2+,3),M2(1,-1)代入得:
,解得:m=
,n=-
,
∴y=x-
.
当y=0时,解得x=.
∴F(,0).
∵a+1=,∴a=
.
∴a=时,四边形PMEF周长最小.
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A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
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