Question

如图，平面直角坐标系中A（-1，0），B（3，0），现同时将A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD
（1）直接写出C、D的坐标：C

 

  D

 

及四边形ABCD的面积：

 

（2）在y轴负半轴上是否存在点M，连接MA、MB使得S_△MAB＞S_{四边形ABCD}？若存在，求出M点纵坐标的取值范围；若不存在说明理由
（3）点P为线段BD上一动点，连PC、PO，当点P在BD上移动（不含端点）现给出①

∠DCP+∠BOP

∠CPO

的值不变，②

∠DCP+∠CPO

∠BOP

的值不变，
其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求其值．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,平行线的性质,三角形的面积,坐标与图形变化-平移

专题：

分析：（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据三角形的面积求出S_△MAB=S_{四边形ABCD}时点M到AB的距离，再写出M的纵坐标的取值范围即可；
（3）过点P作PE∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP=∠CPE，根据平行公理可得PE∥AB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BOP=∠OPE，然后求出∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，再求出比值即可．

解答：解：（1）C（0，2），D（4，2），
四边形ABCD的面积=（3+1）×2=8；

（2）设S_△MAB=S_{四边形ABCD}时点M到AB的距离为h，
则

1

2

×（3+1）h=8，
解得h=4，
∵点M在y轴的负半轴，
∴要使S_△MAB＞S_{四边形ABCD}，则M点纵坐标的取值范围y＜-4；

（3）过点P作PE∥CD，
则∠DCP=∠CPE，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠BOP=∠OPE，
∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，
∴

∠DCP+∠BOP

∠CPO

=1，值不变．

点评：本题考查了坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积，坐标与图形变化-平移，熟记各性质是解题的关键．