Question

已知，如图，以O为圆心，OA为半径画弧，∠AOB=120°，弓形高ND=4厘米，矩形EFGH的两顶点E，F在弦AB上，H，G在

AB

上，且EF=4HE，求HE的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,矩形的性质

专题：计算题

分析：连结OH，设⊙O的半径为R，则OA=R，ON=OD-DN=R-4，易得∠OAB=30°，则在Rt△AON中有OA=2ON，即R=2（R-4），解得R=8，根据垂径定理由OD⊥EF得EN=FN，而EF=4HE，所以EN=2HE，设HE=a，则EN=HM=2a，MN=a，OM=ON+MN=4+a，在Rt△OHM中，根据勾股定理得到4a²+（4+a）²=8²，可解得a₁=

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，a₂=-4（舍去），于是得到HE的长为

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．

解答：解：连结OH，如图，
设⊙O的半径为R，则OA=R，ON=OD-DN=R-4，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠OAB=30°，
在Rt△AON中，OA=2ON，
∴R=2（R-4），解得R=8，
∵OD⊥EF，
∴EN=FN，
∵EF=4HE，
∴EN=2HE，
设HE=a，则EN=HM=2a，MN=a，
∴OM=ON+MN=4+a，
在Rt△OHM中，∵HM²+OM²=OH²，
∴4a²+（4+a）²=8²，
整理得5a²+8a-48=0，解得a₁=

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，a₂=-4（舍去），
∴HE的长为

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．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和矩形的性质．