Question

已知抛物线y=-x²-2kx+3k²（k＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，以AB为直径的⊙E交y轴于点D、F（如图），且DF=4，G是劣弧A D上的动点（不与点A、D重合），直线CG交x轴于点P．
（1）求抛物线的解析式；
（21）当直线CG是⊙E的切线时，求tan∠PCO的值；
（31）当直线CG是⊙E的割线时，作GM⊥AB，垂足为H，交PF于点M，交⊙E于另一点N，设MN=t，GM=u，求u关于t的函数关系式．

Answer 1

解：（1）解方程-x²-2kx+3k²=0．
得x₁=-3k，x₂=k．
由题意知OA=|-3k|=3k，OB=|k|=k．
∵直径AB⊥DF．
∴OD=OF=DF=2．
∵OA•OB=OD•OF，
∴3k•k=2×2．
得k=±（负的舍去）．
则所求的抛物线的解析式为y=-x²-x+4．

（2）由（1）可知AO=，AB=，EG=，
∵抛物线y=-x²-2kx+3k²过C点，∴OC=3k²=4．
连接EG，∵CG切⊙E于G，
∴∠PGE=∠POC=90°，
∴Rt△PGE∽Rt△POC．
∴①，
由切割线定理得PG²=PA•PB=PA（PA+），
PO=PA+AO=PA+．
代入①式整理得：
==，
∴PA²+PA-6=0．
解得PA=3-
∵PA＞0．
∴tan∠PCO=．

（3）∵GN⊥AB，CF⊥AB，
∴GN∥CF，
∴△PGH∽△PCO，
∴．
同理．
∴．
∵CO=4，OF=2，
∴HM=GH=HN=MN，
∴GM=3MN，
即u=3t（0＜t≤）．

分析：（1）本题抛物线解析式只有一个待定系数k，用k表示A、B两点坐标，用相交弦定理OA•OB=OD•OF，可求k值，确定抛物线解析式；
（2）由（1）可求圆的直径AB，半径EG及OC长，连接GE，由Rt△PGE∽Rt△POC，得出对应边的比相等，及切割线定理结合运用可求PA、PO长，在Rt△POC中，可求tan∠PCO的值．
（3）由GN∥CF，得相似，由中间比==，及GH=HN，CO=4，OF=2，得=，故HN=2HM，M为线段HN的中点，从而可得出：GM=3MN，即u=3t．
点评：本题综合性很强，涉及圆及切线性质，相交弦定理，切割线定理，利用相似三角形的中间比等知识，需要学生能熟练运用所学知识解答．