Question

【题目】计算。
（1）填空：
（a﹣b）（a+b）=；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=；
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+…+abn﹣2+bn﹣1）=（其中n为正整数，且n≥2）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：①29+28+27+…+22+2+1
②210﹣29+28﹣…﹣23+22﹣2．

Answer 1

【答案】
（1）a2﹣b2；a3﹣b3；a4﹣b4
（2）an﹣bn
（3）

解：①29+28+27+…+23+22+2+1=（2﹣1）（29+281+2712+…+2316+2217+218）+1

=210﹣110+1

=210﹣1+1

=1024；

②210﹣29+28﹣…+23﹣22+2

= ×[2﹣（﹣1）][210×（﹣1）0+29×（﹣1）1+27×（﹣1）2+…+23×（﹣1）7+22×（﹣1）8+2×（﹣1）9+20×（﹣1）10﹣1]

= [211﹣（﹣1）11﹣1]

= ×2048

=

【解析】解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；
所以答案是：a2﹣b2 ， a3﹣b3 ， a4﹣b4；（2）由（1）的规律可得：原式=an﹣bn ，
所以答案是：an﹣bn；
【考点精析】解答此题的关键在于理解数与式的规律的相关知识，掌握先从图形上寻找规律，然后验证规律，应用规律，即数形结合寻找规律．