Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6．动点P、Q从点A同时出发，点P以每秒5个单位的速度沿边AB向终点B匀速运动．点Q沿折线AC→CB向终点B匀速运动，在AC、CB上的速度分别是每秒6个单位、每秒8个单位．以PQ为边作正方形PQMN，使得点M与点C始终在PQ的同侧．设点P运动的时间为t（s）．

（1）当点Q在边AC上时，用含t的代数式表示PQ的长．

（2）当点M落在边BC上时，求t的值．

（3）当点Q在边AC上时，设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

（4）当正方形PQMN的边QM被△ABC的边平分时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）PQ =5t；（2）当点M落在BC上时，t的值为；（3）S=25t2；；；（4）满足条件的t的值为或．

【解析】

（1）如图1中，作PE⊥AC于E．证明PQ＝PA即可解决问题．

（2）如图2中，证明∠MQC＝∠B，根据cos∠MQC＝cos∠B，构建方程即可解决问题．

（3）分三种情形：①当0＜t≤时，重叠部分是正方形PQMN．②当＜t≤时，如图3﹣2中，重叠部分是五边形PQTRN．③当＜t≤1时，重叠部分是四边形PQTR，分别求解即可解决问题．

（4）分两种情形：①如图4﹣1中，当QT＝TM时，由cos∠CQT＝，构建方程即可解决问题．②如图4﹣2中，当MT＝TQ时，由sin∠CTQ＝，构建方程即可解决问题．

解：（1）如图1中，作PE⊥AC于E．

在Rt△ABC中，∵AB=10，AC=6，

∴，

∵∠PEA=∠C=90°，

∴PE∥BC，

∴，

∴，

∴AE=3t，

∵AQ=6t，

∴AE=EQ=3t，

∴PE垂直平分线段AQ，

∴PQ=PA=5t．

（2）如图2中，当点M落在BC上时，

∵四边形PQMN是正方形，

∴MQ=PQ=5t，∠MQP=90°，

∴∠AQP+∠MQC=90°，∵∠A+∠B=90°，∠A=∠AQP，

∴∠MQC=∠B，

∴cos∠MQC=cos∠B，

∴，

∴，

解得．

∴当点M落在BC上时，t的值为．

（3）①当时，重叠部分是正方形PQMN，S=25t2．

②当点N落在BC上时，如图3-1中，作QG⊥AB于G，NH⊥AB于H，则△QGP≌△HPN（AAS），可得QG=PH，PG=NH．

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴，

解得，

∴当时，如图3-2中，重叠部分是五边形PQTRN，

．

③当时，重叠部分是四边形PQTR，

．

（4）如图4-1中，当QT=TM时，由，可得，解得．

如图4-2中，当MT=TQ时，由，可得，解得．

综上所述，满足条件的t的值为或．