Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是____________．

Answer 1

【答案】（2n﹣1）

【解析】

根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，即可求解．

由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的

坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，

∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，

∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An）＝

（1+2+4+8+…+2n﹣1），

设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，

则2S﹣S＝2n﹣1，

∴S＝2n﹣1，

∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，

∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），

故答案为：（2n﹣1）．