Question

【题目】如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点．

（1）求证：△ABE∽△DEG．

（2）若AB=3，BC=5

①点E在移动的过程中，求DG的最大值

②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①时，有最大值；②

【解析】

（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可；

（2）①设AE=x，证明△ABE∽△DEG，推出，可以得到，利用二次函数的性质求解即可；
②如图2中，连接DH．解直角三角形求出AE，DE，DG，EG，由翻折的性质可知EG垂直平分线段DH，利用面积法可得．

（1）由折叠可知，

∵

∴

∵矩形

∴

∴

∴

（2）①设

∵

（2）①设

∵

∴

∴

∴

∵,

∴时，有最大值

②由折叠可知，，

∵

∴

∴

∴

∵点在直线上

∴，

∴

∴

∴

∴

由折叠可知

∴