Question

【题目】如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O．若BO=6，PO=2，则AP的长，AO的长分别为__________．

Answer 1

【答案】4，．

【解析】

先通过条件证明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，可证明△APO∽△BPA，得出，则AP2=OPBP，可求出AP，设OA=x，则AB=2x，在Rt△ABE中，由AE2+BE2=AB2，得出x的值即可得解．

解：解：∵△ABC是等边三角形
∴∠BAP=∠ACQ=∠ABQ=60°，AB=AC=BC，
∵在△ABP和△ACQ中

，
∴△ABP≌△ACQ （SAS），
∴∠ABP=∠CAQ，
∵∠APO=∠BPA，
∴△APO∽△BPA，
∴，
∴AP2=OPBP，
∵BO=6，PO=2，

∴BP=8，
∴AP2=2×8=16，
∴AP=4，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAQ+∠CAQ=60°，
∴∠BAQ+∠ABP=60°，
∵∠BOQ=∠BAQ+ABP，
∴∠BOQ=60°，
过点B作BE⊥OQ于点E，

∴∠OBE=30°，
∵OB=6，
∴OE=3，BE=3，
∵，

设OA=x，则AB=2x，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
∴(x+3)2+(3)2＝(2x)2，
解得：x=或x=1-（舍去），
∴AO=1+．
故答案为：4，．