Question

【题目】探究：如图1和图2，四边形中，已知，，点、分别在、上，．

（1）①如图1，若、都是直角，把绕点逆时针旋转90°至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系____________________；

②如图2，若、都不是直角，但满足，线段、和之间①中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（2）拓展：如图3，在中，，，点、均在边上，且，若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）①EF=BE+DF；②成立，理由见解析；（2）．

【解析】

（1）①根据旋转的性质得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，推出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可得出结果；
（2）把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根据旋转的性质得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3-x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．

解：（1）①如图1中，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，
∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ADG=90°∴F、D、G共线．
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中，

，

∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=DF+DG=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；

②成立，理由如下：

如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，

则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，

∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，

∴C、D、G在一条直线上，

与①同理得，∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中，

，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

（2）∵△ABC中，，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠C=45°，．

如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．

则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，

∵∠DAE=45°，

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

在△FAD和△EAD中，

，

∴△FAD≌△EAD（SAS），

∴DF=DE，

设DE=x，则DF=x，

∵BC=4，

∴BF=CE=4-1-x=3-x，

∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，

∴∠FBD=90°，

由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，

x2=（3-x）2+12，解得：，

即DE=．