Question

5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴负半轴上，S_△ABC=28．点P是线段CA上一动点．
（1）求直线CB的解析式；
（2）连接BP，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F，线段EF的垂直平分线交AC于点G，连接BG，求BG的长；
（3）H是直线BC上一点，在平面内是否存在一点R，使以点O，B，H，R为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先分别求出点A、B的坐标各是多少；然后根据S_△ABC=28，求出点C的坐标；最后应用待定系数法，求出直线CB的解析式即可．
（2）首先连接EG并延长交CF的延长线于点Q，根据AE⊥EF，MG⊥EF，CQ⊥EF，判断出AE∥MG∥CQ；然后判断出△EMG∽△EFQ，推得EG=QG，再判断出△AEG∽△CQG，推得AG=CG；最后求出OG的长度，在Rt△OBG中，根据勾股定理，求出BG的长是多少即可．
（3）在平面内存在点R，使以点O，B，H，R为顶点的四边形是菱形．首先根据题意，分四种情况：①点R在第二象限；②点R在第三象限；③点R在第一象限，且HR∥OB；④点R在第一象限，且HB∥OR；然后根据菱形的性质分类讨论，求出点R的坐标是多少即可．

解答 解：（1）∵直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，4），
∵S_△ABC=28，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•OB$=$\frac{1}{2}AC×4$=28，
∴AC=14，OC=10，
∴C（-10，0），
设直线CB的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-10k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{5}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴直线CB的解析式是y=$\frac{2}{5}$x+4．

（2）如图1，连接EG并延长交CF的延长线于点Q，，
∵AE⊥EF，MG⊥EF，CQ⊥EF，
∴AE∥MG∥CQ，
∴△EMG∽△EFQ，
∴$\frac{EG}{EQ}=\frac{EM}{EF}=\frac{1}{2}$，
∴EG=QG，
∵AE∥CQ，
∴△AEG∽△CQG，
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{EG}{QG}$=1，
∴AG=CG，
∴AG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×14=7$，
∴OG=AG-AO=7-4=3，
在Rt△OBG中，
BG=$\sqrt{{OB}^{2}{+OG}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}=5$．

（3）在平面内存在点R，使以点O，B，H，R为顶点的四边形是菱形．
①如图2，，
∵四边形OBRH是菱形，
∴HR∥OB，HB⊥OR，
∴设H（a，$\frac{2}{5}$a+4），R（a，$\frac{2}{5}$b），
∵HR=OB，
∴-$\frac{5}{2}a$-（$\frac{2}{5}$a+4）=4，
解得a=-$\frac{80}{29}$，
∴-$\frac{5}{2}$a=-$\frac{5}{2}$×$（-\frac{80}{29}）$=$\frac{200}{29}$，
∴点R的坐标是（-$\frac{80}{29}$，$\frac{200}{29}$）．

②如图3，，
∵四边形OBHR是菱形，
∴HR∥OB，HB∥OR，
∴设H（b，$\frac{2}{5}$b+4），R（b，$\frac{2}{5}b$），
∵OR=OB，
∴$\sqrt{{b}^{2}{+（\frac{2}{5}b）}^{2}}$=4，
解得b=-$\frac{20}{29}\sqrt{29}$，或b=$\frac{20}{29}\sqrt{29}$（舍去），
∴$\frac{2}{5}$a=$\frac{2}{5}$×（-$\frac{20}{29}\sqrt{29}$）=-$\frac{8}{29}\sqrt{29}$，
∴点R的坐标是（-$\frac{20}{29}\sqrt{29}$，-$\frac{8}{29}\sqrt{29}$）．

③如图4，，
∵四边OBHR是菱形，
∴HR∥OB，HB∥OR，
∴设H（c，$\frac{2}{5}$c+4），R（c，$\frac{2}{5}$c），
∵OR=OB，
∴$\sqrt{{c}^{2}{+（\frac{2}{5}c）}^{2}}$=4，
解得c=$\frac{20}{29}\sqrt{29}$，或c=-$\frac{20}{29}\sqrt{29}$（舍去），
∴$\frac{2}{5}$a=$\frac{2}{5}$×（$\frac{20}{29}\sqrt{29}$）=$\frac{8}{29}\sqrt{29}$，
∴点R的坐标是（$\frac{20}{29}\sqrt{29}$，$\frac{8}{29}\sqrt{29}$）．

④如图5，，
∵四边形OHBR是菱形，
∴HB∥OR，HR⊥OB，
∵O（0，0）、B（0，4），
∴点H、R的纵坐标都是2，
∴设H（d，2），R（-d，2），
∵$\frac{2}{5}d+4$=2，
∴d=-5，
∴点R的坐标是（5，2）．
综上，可得
在平面内存在点R，使以点O，B，H，R为顶点的四边形是菱形，
点R的坐标是（-$\frac{80}{29}$，$\frac{200}{29}$）、（-$\frac{20}{29}\sqrt{29}$，-$\frac{8}{29}\sqrt{29}$）、（$\frac{20}{29}\sqrt{29}$，$\frac{8}{29}\sqrt{29}$）、（5，2）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）此题还考查了相似三角形的性质和应用，以及待定系数法求直线解析式的方法，要熟练掌握．