Question

已知△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；
（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；
（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD²，BD²，AH²之间的数量关系，并证明．

Answer 1

（1）如图1，证明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+CAE=∠BAC+CAE，
即∠DAC=BAE．
在△ACD与△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；

（2）连接BE，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵CD垂直平分AE，
∴∠CDA=∠ADE=×60°=30°，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=4，∠BEA=∠CDA=30°，
∴BE⊥DE，DE=AD=3，
∴BD=5；

（3）如图，过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，
则四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF，
设∠AEF=x，∠AED=y，
则∠FED=x+y，
∠BAE=180°-x，∠EAD=∠AED=y，∠BAC=2∠ADB=180°-2y，
∠CAD=360°-∠BAC-∠BAE-∠EAD=360°-（180°-2y）-（180°-x）-y=x+y，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ACD和△EFD中，
，
∴△ACD≌△EFD（SAS），
∴CD=DF，
而BD²+BF²=DF²，
∴CD²=BD²+4AH²．
分析：（1）求出∠DAC=BAE，再利用“边角边”证明△ACD和△ABE全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接BE，先求出△ADE是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得BE=CD，全等三角形对应角相等可得∠BEA=∠CDA=30°，然后求出∠BED=90°，再利用勾股定理列式进行计算即可得解；
（3）过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，先求出四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AB=EF，设∠AEF=x，∠AED=y，根据平行四边形的邻角互补与等腰三角形的性质求出∠CAD，从而得到∠CAD=∠FED，然后利用“边角边”证明△ACD和△EFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与 性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，作辅助线构造出全等三角形与直角三角形是解题的关键．