Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AF是⊙O的直径，与BC交于点H，且AB=AC，点D是弧BC上的一点，连接AD、BD，且AD与BC相交于点E．
（1）求证：∠ABC=∠D；
（2）求证：AC²=AE•AD；
（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D；

（2）证明：∵∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB（公共角），
∴△ABE∽△ADB，
∴，
∴AB²=AE•AD，
∵AB=AC，
∴AC²=AE•AD；

（3）解：连接OB，
∵AB=AC，
∴=，
∴AH⊥BC，BH=BC=×6=3，
∴AH==4，
设OA=x，则OH=4-x，
在Rt△OBH中，OB²=OH²+BH²，
即：x²=（4-x）²+9，
解得：x=．
∴⊙O的半径为：．
分析：（1）由AB=AC，根据等边对等角的性质，即可得∠ABC=∠C，又由同弧对的圆周角相等，即可证得：∠ABC=∠D；
（2）由∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB（公共角），根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△ABE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，易证得AB²=AE•AD，则可得AC²=AE•AD；
（3）首先连接OB，由垂径定理即可得AH⊥BC，BH=BC，然后利用勾股定理列方程，即可求得⊙O的半径．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．