Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是OB的中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，过点C作⊙O的切线交FD于点E．

（1）求证：CE＝EF；

（2）如果sin∠F＝，EF＝5，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）根据切线的性质得：∠1+∠2＝90°，由垂直定义和同圆的半径相等得：∠A＝∠1，∠2＝∠F，所以CE＝EF；

（2）

根据sin∠F＝，设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，表示DB＝k，AB＝4k，证明△FAD∽△BGD，列比例式得：，即DG＝k，，根据直角三角形的性质得：∠3＝∠4，则得k的值，从而代入AB＝4k＝．

（1）证明：如右图，连结OC．

∵CE切⊙O于点E，

∴OC⊥CE．

∴∠1+∠2＝90°．

∵FD⊥AB，

∴∠A+∠F＝90°．

又∵OC＝OA，

∴∠A＝∠1．

∴∠2＝∠F．

∴CE＝EF．

（2）∵FD⊥AB，sin∠F＝，

∴设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k．

∵D为OB的中点，

∴DB＝k，AB＝4k．

连结CB交FD于点G．

∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB＝∠FCB＝90°．

∴∠F＝∠B．

∵∠FDA＝∠GDB＝90°，

∴△FAD∽△BGD，

∴，即，解得DG＝k，

可得FG＝4k﹣k＝k

∵∠FCB＝90°，

∴∠4+∠F＝∠2+∠3．

∵∠F＝∠2，

∴∠3＝∠4．

∴CE＝EF＝EG．

∵EF＝5，

∴FG＝10．

∴＝10，k＝，

∴AB＝4k＝．