Question

已知在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且关于x的一元二次方程b（x²-1）-2ax+c（x²+1）=0有两个相等的实数根．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若a：b=3：4，解这个方程．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：计算题

分析：（1）先把方程化为一般式（b+c）x²-2ax+c-b=0，再根据判别式的意义得到△=（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，化简得a²+b²=c²，然后根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）设a=3t，b=4t，根据勾股定理计算出c=5t，则原方程化为9x²-6x+1=0，然后利用因式分解法解方程．

解答：解：（1）方程整理为（b+c）x²-2ax+c-b=0，
根据题意得△=（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，
则a²+b²=c²，
所以△ABC为直角三角形，∠C=90°；
（2）设a=3t，b=4t，
则c=

a2+b2

=5t，
所以原方程化为9t•x²-6t•x+t=0，即9x²-6x+1=0，
所以（3x-1）²=0，
所以x₁=x₂=

1

3

．

点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．