【题目】已知:△ABC,点M是平面上一点,射线BM与直线AC交于点D,射线CM与直线AB交于点E.过点A作AF∥CE,AF与BC所在的直线交于点F.
(1)如图1,当BD⊥AC,CE⊥AB时,写出∠BAD的一个余角,并证明∠ABD=∠CAF;
(2)若∠BAC=80°,∠BMC=120°.
①如图2,当点M在△ABC内部时,用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系,并加以证明;
②如图3,当点M在△ABC外部时,依题意补全图形,并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数量关系.
【答案】(1)∠ABD等(答案不唯一),证明见解析;(2)①∠ABD+∠CAF=40°,证明见解析;
②∠CAF-∠ABD= 40°.
【解析】
(1)根据余角的定义写出即可;根据同角的余角相等得到∠ABD=∠ACE,再由平行线的性质得到∠ACE=∠CAF,从而得出结论;
(2) ①由∠BMC是△MDC的外角可得∠BMC=∠MDC+∠MCD,又∠MDC是△ABD的外角可得∠MDC=∠BAC+∠ABD,根据平行线的性质可得∠MCD=∠CAF,则证得∠BMC=∠BAC+∠ABD+∠CAF,代入数值计算即可得出结论;
②方法同①.
(1)∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠ABD+∠BAC= 90° , ∠ACE+∠BAC= 90° ,
∴∠ABD=∠ACE,
又∵AF∥CE,
∴∠ACE=∠CAF,
∴∠ABD=∠CAF.
(2)①∠ABD+∠CAF=40°,理由为:
∵∠BMC是△MDC的外角
∴∠BMC=∠MDC+∠MCD,
∵∠MDC是△ABD的外角,
∴∠MDC=∠BAC+∠ABD,
∵AF∥CE,
∴∠MCD=∠CAF,
∴∠BMC=∠BAC+∠ABD+∠CAF,
∵∠BAC=80°,∠BMC=120°,
∴120°=80°+∠ABD+∠CAF,
∴∠ABD+∠CAF=40°.
②补全图形见下图,∠CAF-∠ABD= 40°
∵∠BEC是△AEC的外角
∴∠BEC=∠BAC+∠ACE,
∵∠BEC是△BME的外角,
∴∠BEC=∠BME+∠ABD,
∴∠BAC+∠ACE=∠BME+∠ABD,
∵AF∥CE,
∴∠ACE=∠CAF,
∴∠BAC+∠CAF=∠BMC+∠ABD,
∵∠BAC=80°,∠BMC=120°,
∴80°+∠CAF=120°+∠ABD,
∴∠CAF-∠ABD= 40°
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【题目】如图,已知 是⊙ 的直径, 是⊙ 上一点,∠ 的平分线交⊙ 于点 ,交⊙ 的切线 于点 ,过点 作 ⊥ ,交 的延长线于点 .
(1)求证: 是⊙ 的切线;
(2)若 .求 值.
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【题目】某汽车经销商购进 两种型号的低排量汽车,其中 型汽车的进货单价比 型汽车的进货单价多2万元,经销商花50万元购进 型汽车的数量与花40万元购进 型汽车的数量相等.销售中发现 型汽车的每周销量 (台)与售价 (万元/台)满足函数关系式 , 型汽车的每周销量 (台)与售价 (万元/台)满足函数关系式 .
(1)求 两种型号的汽车的进货单价;
(2)已知 型汽车的售价比 型汽车的售价高2万元/台,设 型汽车售价为 万元/台.每周销售这两种车的总利润为 万元,求 与 的函数关系式, 两种型号的汽车售价各为多少时,每周销售这两种车的总利润最大?最大总利润是多少万元?
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【题目】阅读下文,回答问题:
已知:(1-x)(1+x)=1-x2.
(1-x)(1+x+x2)=_______;
(1-x)(1+x+x2+x3)=_______;
(1)计算上式并填空;
(2)猜想:(1-x)(1+x+x2+…+xn)= ;
(3)你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗?请写出计算过程(结果用含有3幂的式子表示).
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【题目】甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设,甲队单独施工20天完成该项工程的,这时乙队加入,两队还需同时施工16天,才能完成该项工程.
若甲队单独施工,需要______天才能完成任务.
若乙队单独施工,需要多少天才能完成该项工程?
若甲队参与该项工程施工的时间不超过30天,则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?
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【题目】日前,中国儿童文学作家曹文轩荣获2016年国际儿童读物联盟(IBBY)国际安徒生奖,新安书店抓住契机,以每本20元的价格购进一批畅销书《曹文轩作品集》.销售过程中发现,每月销售量y(本)与销售单价x(元)之间的关系如下表所示,按照表中y与x的关系规律,解决下面的问题:
x | 25 | 28 | 30 | 32 | 35 |
y | 250 | 220 | 200 | 180 | 150 |
(1)试求出y与x的函数关系式.
(2)销售单价在什么范围时,书店能盈利?
(3)如果想要每月获得的利润不低于2000元,那么该书店每月的成本最少需要多少元?(成本=每本进价×销售量)
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