Question

如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．

（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）

（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．

Answer 1

；22、或；23、1或7；24、解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，根据折叠的性质可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，

∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，

根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；

（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ，

根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM，∴∠MDQ=∠DQM，∴MD=MQ，

∵AM=ME，BQ=EQ，∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM，

∵sin∠DMF==，∴设DF=3x，MD=5x，∴BP=PA=PE=，BQ=5x﹣1，

∵△AMP∽△BPQ，∴，∴，解得：x=（舍）或x=2，∴AB=6