Question

阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁，r₂，腰上的高为h，连接AP，则S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，即：，∴r₁+r₂=h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，等边△ABC的高为h，试证明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？________（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=________．若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）连接AP，BP，CP．（2分）
则S_△ABP+S_△BCP+S_△ACP=S_△ABC，（4分）
即，（6分）
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴r₁+r₂+r₃=h（定值）；（8分）

（2）存在．（10分）
r=2．（12分）
分析：（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．
点评：此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．