Question

9．已知等腰△ABC中，AB=AC，点E是△ABC内一点，点D是BC边的中点，连接AE，DE．
（1）如图1，当∠BAC=60°，∠BEC=120°时，求证：AE=2DE；
（2）如图2，当∠BAC=90°，∠BEC=135°时，求证：AE=$\sqrt{2}$DE；
（3）如图3，当∠BAC=α，∠BEC=90°+$\frac{1}{2}$α时，猜想AE、DE的数量并证明．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，可得△ABF≌△ACE，且△AEF为等边三角形，根据三角形外角的性质，可得∠FBA+∠ABE=120°-（∠BCE+∠EBC）=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得EC=BG，∠ECD=∠GBD，再根据全等三角形的判定与性质，可得EG=EF，根据等量代换，可得答案；
（2）同（1）的方法得出EF=$\sqrt{2}$AE，再同（1）的方法得出EF=EG=2DE，即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出EF=EG=2DE，再用锐角三角函数即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，将△ACE绕点A时顺针旋转60°得到△ABF，连接EF．延长ED至点G，
使DG=ED，连接BG．
∴△ABF≌△ACE，且△AEF为等边三角形．
∴AE=AF=EF，CE=BF，∠FBA=∠ECA，
∵∠FBA+∠ABE=∠ECA+60°-∠EBC
=60°-∠BCE+60°-∠EBC=120°-（∠BCE+∠EBC）=60°，
∴∠FBE=∠FBA+∠ABE=60°．
在△ECD和△GBD中，$\left\{\begin{array}{l}{ED=GD}\\{∠CDE=∠BDG}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△GBD （SAS），
∴EC=BG，∠ECD=∠GBD，
∴BG=BF，∠GBE=∠GBD+∠EBD=∠ECB+∠EBC=60°=∠FBE．
在△EBG和△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{∠EBG=∠EBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBG≌△EBF（SAS）
∴EG=EF，
∴EF=EG=2ED，
∴AE=2ED．

（2）如图2，将△ACE绕点A时顺针旋转90°得到△ABF，连接EF．延长ED至点G，
使DG=ED，连接BG．
∴△ABF≌△ACE，且△AEF为等腰直角三角形．
∴EF=$\sqrt{2}$AE，CE=BF，∠FBA=∠ECA，
∵∠FBA+∠ABE=∠ECA+45°-∠EBC
=45°-∠BCE+45°-∠EBC=90°-（∠BCE+∠EBC）=45°，
∴∠FBE=∠FBA+∠ABE=45°．
在△ECD和△GBD中，$\left\{\begin{array}{l}{ED=GD}\\{∠CDE=∠BDG}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△GBD （SAS），
∴EC=BG，∠ECD=∠GBD，
∴BG=BF，∠GBE=∠GBD+∠EBD=∠ECB+∠EBC=45°=∠FBE．
在△EBG和△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{∠EBG=∠EBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBG≌△EBF（SAS）
∴EG=EF，
∴EF=EG=2ED，
∴$\sqrt{2}$AE=2ED，
∴AE=$\sqrt{2}$DE；

（3）AE•sin$\frac{α}{2}$=DE．
理由：如图3，
将△ACE绕点A时顺针旋转α得到△ABF，连接EF．延长ED至点G，
使DG=ED，连接BG．
∴△ABF≌△ACE，且△AEF为等腰三角形．
∴CE=BF，∠FBA=∠ECA，
∵∠FBA+∠ABE=∠ECA+90°-$\frac{1}{2}$α-∠EBC
=90°-$\frac{1}{2}$α-∠BCE+90°-$\frac{1}{2}$α-∠EBC=180°-α-（∠BCE+∠EBC）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠FBE=∠FBA+∠ABE=90°-$\frac{1}{2}$α．
在△ECD和△GBD中，$\left\{\begin{array}{l}{ED=GD}\\{∠CDE=∠BDG}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△GBD （SAS），
∴EC=BG，∠ECD=∠GBD，
∴BG=BF，∠GBE=∠GBD+∠EBD=∠ECB+∠EBC=90°-$\frac{1}{2}$α=∠FBE．
在△EBG和△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{∠EBG=∠EBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBG≌△EBF（SAS）
∴EG=EF，
∴EF=EG=2ED，
过点A作AH⊥EF，
∵AE=AF，
∴HE=$\frac{1}{2}$EF，∠EAH=$\frac{1}{2}$∠EAF=$\frac{1}{2}$α，
在Rt△AEH中，sin∠EAH=$\frac{HE}{AE}$，
∴sin$\frac{α}{2}$=$\frac{\frac{1}{2}EF}{AE}$，
∴AE•sin$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$EF=ED，
∴AE•sin$\frac{α}{2}$=DE．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数，解本题的关键是判断出EF=DG=2DE．