Question

14．如图△ABG中，∠ABG=90°，以AB为直径作⊙O交于D点，D是弧BC的中点，过D作AC的垂线，垂足为E，ED的延长线交BG于F．
（1）求证：BF=GF；
（2）连接BC交AG于H，若2BH=3CH，求tan∠G的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠1=∠2，根据等腰三角形的性质得到∠2=∠3，等量代换得到∠1=∠3，推出AE∥OD，得到∠ODF=∠E=90°，根据全等三角形的性质得到∠4=∠5=$\frac{1}{2}$∠DOB，根据三角形的外角的性质得到∠2=$\frac{1}{2}∠$DOB，推出AD∥OF，根据平行线等分线段定理得到结论；
（2）连接BD，OD交BC于P，根据平行线的性质得到∠5=∠DHP，根据余角的性质得到∠5=∠G，得到BG=BH=3m，根据相似三角形的性质得到AD：DG=5：1，设AD=5k，DG=k，根据射影定理得到BD²=AD•DG=5k²，于是得到结论．

解答 解：（1）∵D是弧BC的中点，
∴$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE∥OD，
∴∠ODF=∠E=90°，
在Rt△DOF与Rt△OBF中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DOF≌Rt△OBF，
∴∠4=∠5=$\frac{1}{2}$∠DOB，
∵∠DOB=∠2+∠3，
∴∠2=$\frac{1}{2}∠$DOB，
∴∠2=∠5，
∴AD∥OF，
∵AO=BO，
∴BF=FG；
（2）连接BD，OD交BC于P，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AE，BD⊥AG，
∴BC∥EF，
∴∠5=∠DHP，
∵∠1+∠5=∠G+∠2=90°，
∴∠5=∠G，
∵∠5=∠6，
∴G=∠DHP，
∴BG=BH=3m，
∵△AED∽△ABG，
∴$\frac{AD}{AG}=\frac{DE}{BG}$=$\frac{5}{6}$，
∴AD：DG=5：1，
设AD=5k，DG=k，
∴BD²=AD•DG=5k²，
∴BD=$\sqrt{5}$k，
∴tan∠G=$\frac{BD}{DG}$=$\frac{\sqrt{5}k}{k}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．