Question

如图，在⊙O中，弦AB∥弦CD，且分居在点O的两侧．已知AB=11，CD=21，⊙O的半径R=．求：

（1）AB与CD之间的距离．
（2）若⊙I₁、⊙I₂分别为△ACD、△ABC的内切圆，求⊙I₁、⊙I₂的半径之比．

Answer 1

解：（1）如图1，过O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，连接OA，OD．
∵AB∥CD，∴E，O，F三点共线，
∴EF即为所求的AB，CD的距离
∴AE=AB=，DF=CD=，
在Rt△OAE中，∵OB=，AE=，∴OE=．
在Rt△ODF中，∵OD=，DF=，∴OF=，
∴EF=OE+OF=+=12，
答：AB和CD的距离为12；

（2）∵AB∥CD，AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形，
∵在⊙O中，弦AB∥弦CD，
∴=，
∴AD=BC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
如图2，作等腰梯形ABCD的高AE，BF，则四边形ABFE是矩形，FE=AB=11，DE=CF==5．
在△ADE中，∵∠AED=90°，
∴AD===13，
在△ACE中，∵∠AEC=90°，
∴AC===20．
S_梯形ABCD=（AB+CD）•EF=（11+21）×12=192，
∵S_△ADC+S_△ABC=192，S_△ADC：S_△ABC=21：11，
∴S_△ADC=126，S_△ABC=66．
如图3，连接I₁A、I₁D、I₁C，设△ACD的内切圆半径为r₁，
∵S_△ADC=S_△AI1D+S_△DI1C+S_△AI1C=AD•r₁+CD•r₁+CA•r₁，
∴（13+21+20）r₁=126，
∴r₁=，
同理，求出⊙I₂的半径r₂=3，
∴⊙I₁与⊙I₂的半径之比是：3=．
分析：（1）分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F；由于AB∥CD，则E、O、F三点共线，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、DF的长，连接OA、OD，在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离；
（2）先证明四边形ABCD是等腰梯形，作等腰梯形ABCD的高AE，BF，运用勾股定理求出AD=13，AC=20，运用梯形的面积公式得出S_梯形ABCD=192，则S_△ADC=126，S_△ABC=66，然后由面积法分别求出⊙I₁的半径r₁=，⊙I₂的半径r₂=3，则⊙I₁与⊙I₂的半径之比可求．
点评：本题考查了等腰梯形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，三角形的内切圆，三角形、梯形的面积，综合性较强，有一定难度．