Question

已知，△ABC中，sinA=

4

5

，点D为AB中点，点E、F分别是射线AC、CB上的点，连接DE、EF、DF，∠EDF=90°，∠A=∠EFD．
（1）求证：∠ACB=90°；
（2）若点D关于EF的对称点为N，连接CN，过点F作FH⊥CN交直线CN于点H，试探究CE、CN、FH三者之间的关系．并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）过点D作DH⊥AB交AC于点H，利用sinA=

4

5

，找出边角关系，证得△EHD∽△DFB，进一步得出结论即可；
（2）分两种情况探讨：当点E在AC上时，点E在AC延长线上时；利用相似三角形的判定与性质和锐角三角函数探讨得出答案即可．

解答：证明：过点D作DH⊥AB交AC于点H，

∵sinA=

4

5

，
∴在Rt△AHD中，

DH

AD

=

4

3

．
∵∠A=∠EFD，
∴在Rt△EFD中，

DE

DF

=

4

3

，
∴

DH

AD

=

DE

DF

∵AD=BD，
∴

DH

BD

=

DE

DF

．
∵∠EDF=∠ADH=90°，
∴∠EDH=∠FDB．
∴△EHD∽△DFB，
∴∠H=∠B，
∵∠CMH=∠DMF，
∴∠ACB=∠HDB=90°．

（2）当点E在AC上时，
过点N作NQ⊥BC于点Q，NP⊥AC于点P，
∴∠NPE=∠NQF=90°，
∵∠PNQ=∠ENF=90°
∴∠PNE=∠QNF，
∴△PNE∽△QNF

QN

PN

=

NF

NE

=

3

4

．
∵矩形PNQC，
∴PN=CQ
∴

QN

CQ

=

3

4

，tan∠NCQ=tan∠B
∴∠NCQ=∠B
∴CH∥AB．
过点E作EM⊥CN于点M
∴∠MCE=∠A
∴

MC

CE

=

3

5

∴∠EMH=∠H=∠ENF=90°
∴△MNE∽△HFN

HF

MN

=

NF

NE

=

3

4

∴MN=

4

3

HF
∴

3

5

CE+CN=

4

3

HF．
第二情况当点E在AC延长线上时
同理可证CN-

3

5

CE=

4

3

HF．

点评：此题综合考查相似三角形的性质，锐角三角函数的运用，以及分类讨论思想的渗透，关键结合题目作出适当的辅助线是解决问题的关键．