Question

已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AD=2，BD=3，CD=6，点E是BC上一点，

CE

BE

=

4

5

，连接AE与CD交于点F．
（1）求BE的长；
（2）求证：∠BAE=∠BCA；
（3）求证：tan∠CFE=1．

Answer 1

考点：勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）运用勾股定理求出BC的长，再用BC乘BE占BC的分数求解．
（2）利用△ABE∽△CBA，求出∠BAE=∠BCA．
（3）作BM⊥AC于点M，求出BM=CM，再求出∠CFE=45°，得出tan∠CFE=1．

解答：解：（1）∵CD⊥AB于点D，BD=3，CD=6，
∴BC=

62+32

=3

5

，
∵

CE

BE

=

4

5

，
∴BE=

5

9

BC=

5

9

×3

5

=

5 5

3

．
（2）证明：∵AB=5，BE=

5 5

3

，BC=3

5

，
∴

AB

BE

=5÷

5 5

3

=

3 5

5

，

BC

AB

=3

5

÷5=

3 5

5

，
∴

AB

BE

=

BC

AB

∴△ABE∽△CBA，
∴∠BAE=∠BCA．
（3）证明：作BM⊥AC于点M，

∵CD⊥AB于点D，AD=2，CD=6，
∴AC=

62+22

=2

10

，
∵

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BM，
∴BM=

AB?CD

AC

=

5•6

2 10

=

3 10

2

，
∴CM=

BC2-BM2

=

45- 45 2

=

3 10

2

=BM，
∴∠BCA=45°，
∴∠BAE=45°，
∴∠AFD=45°，
∴∠CFE=45°，
∴tan∠CFE=1．

点评：本题主要考查勾股定理，三角形相似的知识，关键是找准直角三角形灵活运用勾股定理．