Question

【题目】已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论正确个数的有（　　）

①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S四边形BFGC=﹣1.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠DAC，AB∥CD，∴∠1=∠ACD，

∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴AE=ED，

∵GE⊥AD，∴AD=2AE，

∵AB=2AF，∴AE=AF，

又∵AG=AG，∴△FAG≌△EAF，∴∠AFG=∠AEG=90°，∴DF⊥AB，故①正确；

∵AB//CD，∴△AFG∽△CDG，∴CG：AG=CD：AF，∵AF= AB，AB=CD，∴CG：AG=2：1，∴CG=2AG，故②正确；

延长CB交DF的延长线于点，

∵AD//BC，∴∠M=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠M，∴CG=MG，

在△ADF和△BMF中，

∵∠M＝∠2，∠BFM＝∠AFD(对顶角相等)，BF＝AF，

∴△ADF≌△BMF（AAS），∴MF=DF，

∵△FAG≌△EAF，∴FG=EG，

∵GM=GF+MF，∴CG=DF+GE，故③正确；

由以上可得BO=1，AC=2 ，FG= ，

∴S四边形BFGC=S△ABC-S△AFG= ×2×1- ××1=，故④错误；

故选C.