Question

【题目】（1）如图1所示，在△ABC中，若AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E．AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM、AN，试判断△AMN的形状，并证明你的结论．

（2）如图2所示，在△ABC中，若∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，连接AM、AN，若AC＝3，BC＝8，求MN的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）MN＝1.6

【解析】

（1）由AB=AC，可得∠B=∠C=30°，又由AB的垂直平分线EM交BC于M，得出∠BAM=30°，即可得出∠AMN=60°，同理：∠ANM=60°，即可得出结论；
（2）先利用NF是AC垂直平分线计算出CN，进而得出AN，进而得出BM=6-MN，最后用勾股定理即可得出结论．

（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，

∵AB的垂直平分线交BC于点M， ∴AM＝BM，

∴∠BAM＝∠ABM＝30°，∴∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝60°，

同理：∠ANM＝60°，∴△AMN是等边三角形；

（2）∵NF是AC的垂直平分线，

∴∠ANC＝2∠CNF，CF＝，AN＝CN，

在Rt△CFN中，∠C＝45°，∴∠CNF＝∠C＝45°，CN＝＝3，

∴∠ANC＝90°，AN＝3，∵BC＝8，

∴BN＝BC﹣CN＝5＝BM +MN，∴BM＝5﹣MN，

∵ME是AB的垂直平分线，∴AM＝BM＝5﹣MN，

在Rt△AMN中，根据勾股定理得，（5﹣MN）2﹣MN2＝9，∴MN＝1.6