Question

【题目】已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0），（1）求抛物线的解析式_____．（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在第二象限内，P′A2取得最小值时，求m的值_____．

Answer 1

【答案】y＝x2﹣2x﹣3

【解析】

（1）首先把A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3，得出b＝﹣2，即抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，即可判定﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，因为抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），可得出﹣4≤t＜0，又根据P在抛物线上，可得出t＝m2﹣2m﹣3，进而得出m2﹣2m＝t+3，根据两点坐标A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），即可求出P′A2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m2﹣2m+1+t2＝t2+t+4＝（t+）2+；可判定当t＝﹣时，P′A2有最小值，即可求出m的值为.

解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3得：0＝1﹣b﹣3，

解得：b＝﹣2，

即抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，

故答案为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，

∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，

∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），

∴﹣4≤t＜0，

∵P在抛物线上，

∴t＝m2﹣2m﹣3，

∴m2﹣2m＝t+3，

∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），

∴P′A2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m2﹣2m+1+t2＝t2+t+4＝（t+）2+；

∴当t＝﹣时，P′A2有最小值，

∴﹣＝m2﹣2m﹣3，解得m＝或m＝，

∵m＞0，

∴m＝不合题意，舍去，

∴m的值为，

故答案为：