Question

【题目】如图，菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EG⊥CD于点G，则∠FGC= ．

Answer 1

【答案】55°
【解析】解：延长GF，交AB的延长线于点P． ∵F为BC的中点，
∴BF=CF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥DC，
∴∠PBF=∠GCF，∠BFP=∠CFG，
在△BPF与△CGF中，
，
∴△BPF≌△CGF，
∴GF=PF，
∴F为PG中点．
又∵由题可知，∠BEG=90°，
∴EF= PG，
∵GF= PG，
∴EF=GF，
∴∠FEG=∠EGF，
∵∠BEG=∠EGC=90°，
∴∠BEG﹣∠FEG=∠EGC﹣∠EGF，即∠BEF=∠FGC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE= （180°﹣70°）=55°，
∴∠FGC=55°．
所以答案是55°．

【考点精析】掌握菱形的性质是解答本题的根本，需要知道菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．