Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点 E．

（1）求证：△CDE≌△CBE；

（2）若AB＝6，填空：

①当的长度是　 　时，△OBE是等腰三角形；

②当BC＝　 　时，四边形OADC为菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①π；②3

【解析】

（1）由已知可得CE⊥BD，则可知DE＝BE，所以△CDE≌△CBE（SAS）；

（2）①连接OD，由已知可证明△ABD是等腰直角三角形，求得∠COD＝45°，即可求的长度；②由已知可得OA＝OC＝AD＝CD＝3，再由△CDE≌△CBE，则CD＝BC．

解：（1）∵过点C作⊙O的切线l，

∴OC⊥l，

∵AD⊥l，

∴OC∥AD，

∵AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，

∴AD⊥BD，

∴BD⊥OC，

∴DE＝BE，

∴△CDE≌△CBE（SAS）；

（2）①连接OD，

当△OBE是等腰三角形时，

∵BE⊥OE，

∴OE＝BE，

∴∠OBE＝∠EOB＝45°，

∵AD∥OC，

∴∠A＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠COD＝45°，

∵AB＝6，

∴AO＝3，

∴的长度＝＝π，

故答案为π；

②∵四边形OADC为菱形，

∴OA＝OC＝AD＝CD＝3，

∵△CDE≌△CBE，

∴CD＝BC，

∴BC＝3，

故答案为3．