Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C．

（1）求m，n的值及抛物线的解析式；

（2）在图1中，把△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，连接OP，若点M恰好在直线y＝x+3上，求线段OP的长度；

（3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，m＝﹣3，n＝5；（2）3或；（3）存在；Q点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5），理由见解析

【解析】

（1）把点A（m，0）和点B（2，n）代入直线y＝x+3，解得：m＝﹣3，n＝5，A（﹣3，0）、B（2，5），把A、B坐标代入抛物线解析式即可求解；

（2）由平移得：PN＝OA＝3，NM＝OC＝3，设：平移后点P（t，t2+2t﹣3），则N（t+3，t2+2t﹣3），M（t+3，t2+2t﹣6），根据点M在直线y＝x+3上，即可求解；

（3）存在．设：直线AB交y轴于D（0，3），点C关于点D的对称点为C′（0，9）按照△QAB和△Q′AB和△ABC的面积相同即可求解．

解：（1）把点A（m，0）和点B（2，n）代入直线y＝x+3，解得：m＝﹣3，n＝5，

∴A（﹣3，0）、B（2，5），把A、B坐标代入抛物线解析式，解得：a＝1，b＝2，

∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3…①，

则C（0，﹣3）；

（2）由平移得：PN＝OA＝3，NM＝OC＝3，

设：平移后点P（t，t2+2t﹣3），则N（t+3，t2+2t﹣3），

∴M（t+3，t2+2t﹣6），∵点M在直线y＝x+3上，

∴t2+2t﹣6＝t+3+3，解得：t＝3或﹣4，

∴P点坐标为（3，12）或（﹣4，5），

则线段OP的长度为：3或；

（3）存在．

设：直线AB交y轴于D（0，3），点C关于点D的对称点为C′（0，9）

过点C和C′分别做AB的平行线，交抛物线于点Q、Q′，

则：△QAB和△Q′AB和△ABC的面积相同，

直线QC和Q′C的方程分别为：y＝x﹣3和y＝x+9…②，

将①、②联立，解得：x＝﹣1或x＝3或x＝﹣4，

∴Q点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5）．