Question

【题目】如图，AB切⊙O与点A，BE切⊙O于点E，连接AO并延长交⊙O于点C，交BE的延长线于点D，连接EC，若AD＝8，tan∠DEC＝，则CD＝_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

连接OB，OE，根据切线的性质得到AB＝EB，根据全等三角形的性质得到∠AOB＝∠EOB，推出CE∥OB，得到∠DEC＝∠EBO，求得∠DEC＝∠ABO，得到tan∠ABO＝，设OA＝x，AB＝2x，根据相似三角形的性质得到DE＝4，根据勾股定理即可得到结论．

解：连接OB，OE，

∵AB切⊙O与点A，BE切⊙O于点E，

∴AB＝EB，

在△ABO与△EBO中，

∴△ABO≌△EBO（SSS），

∴∠AOB＝∠EOB，

∴∠AOB＝∠AOE，

∵∠COE=∠AOE，

∴∠AOB＝∠ACE，

∴CE∥OB，

∴∠DEC＝∠EBO，

∴∠DEC＝∠ABO，

∵tan∠DEC＝，

∴tan∠ABO＝，

设OA＝x，AB＝2x，

∴OE＝x，

∵∠OED＝∠A＝90°，∠D＝∠D，

∴△DEO∽△DAB，

∴，

∵AD＝8，

∴DE＝4，

∵OE2+DE2＝OD2，

∴x2+42＝（8﹣x）2，

∴x＝3，

∴CD＝8﹣6＝2．

故答案为：2．