Question

【题目】已知，二次三项式﹣x2+2x+3．

（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；

（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）m＝7；（2）n≤﹣6或3≤n＜6．

【解析】

（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，由已知可得m≠1，△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，由已知可得m﹣4＝±3，解得m＝7或m＝1（舍）；

（2）由已知可得A（，0），B（0，n），根据题意可得，当≤﹣3，n＜3时，n≤﹣6；当＞﹣3，n≥3时，n≥3；当＞3，n≤3时，n不存在；当＜3，n≥3时，3≤n＜6；综上所述：n≤﹣6或3≤n＜6．

解：（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，

由已知可得m≠1，

△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，

∵m为整数，方程的根为有理数，

∴m﹣4＝±3，

∴m＝7或m＝1（舍）；

（2）由已知可得A（，0），B（0，n），

∵函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，

当≤﹣3，n＜3时，∴n≤﹣6；

当＞﹣3，n≥3时，∴n≥3；

当＞3，n≤3时，n不存在；

当＜3，n≥3时，3≤n＜6；

综上所述：n≤﹣6或3≤n＜6．